ПОБУДОВА ПЕРІОДИЧНИХ КРИВИХ КОМБІНОВАНИМ  ЕКСПОНЕНЦІЙНО-АЛГЕБРАЇЧНИМ ІНТЕРПОЛЮЮЧИМ ПОЛІНОМОМ

Н. М. Аушева; Ю. В. Сидоренко; А. А. Демчишин; О. С. Каленюк

doi:10.26661/2786-6254-2025-1-01

Н. М. Аушева Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського» https://orcid.org/0000-0003-0816-2971
Ю. В. Сидоренко Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського» https://orcid.org/0000-0002-1953-0410
А. А. Демчишин Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського» https://orcid.org/0000-0001-7754-0185
О. С. Каленюк Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського» https://orcid.org/0009-0009-3141-4840

DOI: https://doi.org/10.26661/2786-6254-2025-1-01

Ключові слова: інтерполяція, дотичні вектори, поліном Фур’є, чисельна оптимізація, неперервна оптимізація, періодична крива, замкнена крива

Анотація

Під «періодичною» кривою матимемо на увазі криву, що повторює себе на певному періоді з точністю до переносу. Прикладом такої криви є гвинтова лінія. Доменом функції, яка задає таку параметричну криву, є множина дійсних чисел, а кодоменом – множина всіх точок n-вимірного простору. Періодом такої кривої може бути будь-яке довільне дійсне число, але тут і надалі вважатимемо періодом періодичної кривої 2π.У цій роботі пропонується спосіб побудови періодичної кривої, що проходить через наперед задану множину точок і водночас забезпечує додатковий контроль за формою. Для побудови такої кривої використовується комбінований експоненційно-алгебричний поліном, частково подібний до поліному Фур’є в експоненційному записі. Різниця між запропонованим поліномом і поліномом Фур’є полягає у тому, що комбінований поліном містить разом з експоненційними і алгебричні члени, причому, якщо експоненційні члени потребують уявного аргументу, алгебричні приймають аргумент у дійсному просторі. Такий поліном інтерполює множину комплексних чисел, призначених до унікальних значень дійсного параметра. Дійсні частки таких чисел відповідають точкам кривої у дійсному просторі, через які крива проходитиме, а уявні – впливають на форму кривої не віднімаючи умови проходження через задані точки завдяки інтерполяційним властивостям полінома.У такий спосіб вхідні дані фактично розділяються на дві множини. Умова проходження кривої через задані точки задається дійсними частками вхідних даних, а уявні частки тих чисел додатково впливають на форму кривої. У просторі уявних часток вхідних даних можлива чисельна оптимізація певних властивостей кривої, наприклад мінімізації довжини кривої на параметричному інтервалі її періоду.

Посилання

1. Farouki, R.T., Hana, C.Y., Mannib, C., Sestinic, A. (2004). Characterization and construction of helical polynomial space curves. Journal of Computational and Applied Mathematics, 162 (2004), 365–392. https://doi.org/10.1016/J.CAM.2003.08.030.
2. Yılmaz, B., Has, A. (2019). New Approach to Slant Helix. International Electronic Journal of Geometry, 12 (1), 111–115. https://doi.org/10.36890/iejg.545879.
3. Menninger, A. (2014). Characterization of the Slant Helix as Successor Curve of the General Helix. International Electronic Journal of Geometry, 7 (2), 84–91. https://doi.org/10.48550/arXiv.1411.0550.
4. Izumiya, Sh., Takeuchi, N. (2004). New Special Curves and Developable Surfaces. Turkish Journal of Mathematics, 28 (2), Art. 6. Available at https://journals.tubitak.gov.tr/math/vol28/iss2/6.
5. Uzunoğlu, B., Gök, İ., Yayli, Y. (2016). A new approach on curves of constant precession. Applied Mathematics and Computation, 275 (2016), 317–323. https://doi.org/10.1016/j.amc.2015.11.083.
6. Bangert, C., Prautzsch, H. (1997). Circle and sphere as rational splines, Neural Parallel Sci. Comput. 5 (1997), 153–161.
7. Fiorot, J.-C., Jeannin, P., Cattiaux-Huillard, I. (1997). The circle as a smoothly joined BR-curve on [0,1], Comput. Aided Geom. Design, 14 (1997), 313–323.
8. Farouki, R.T., Manni, C., Sestini, A. (2002). Spatial C2 PH quintic splines, in: T. Lyche et al. (Eds.) Curve and Surface Design: St. Malo, Nashboro Press, 2003, 123–146.
9. Piegl, L., Tiller, W. (1997). The NURBS Book. Springer-Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3- 642-59223-2.
10. Ausheva, N., Kaleniuk, O., Sydorenko, Iu. (2024) Using Exponential Complex Polynomials for Constructing Closed Curves with Given Properties. Control Systems and Computers, 307 (3), 3–9. https:// doi.org/10.15407/csc.2024.04.003.
11. Fletcher, R. (1988). Practical methods of optimization. Wiley.
12. Ausheva, N., Olevskyi, V., Olevska, Yu. (2019). Modeling of Minimal Surface Based on an Isotropic Bezier Curve of Fifth Order. Journal of Geometry and Symmetry in Physics. 52 (2019), 1–15. https://doi. org/10.7546/jgsp-52-2019-1-15.
13. Andrianov, I.V., Ausheva, N.M., Olevska, Yu.B., Olevskyi, V.I. (2019). Surfaces Modelling Using Isotropic Fractional-Rational Curves. Journal of Applied Mathematics, 4 (2019), 1–13. https://doi. org/10.1155/2019/5072676.
14. Powell, M.J.D. (1964). An efficient method for finding the minimum of a function of several variables without calculating derivatives. Computer Journal, 7 (2), 155–162.